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二、等高线函数的几何意义与计算 插值法显然是处理这类难题的首选，但直接拿坐标算坐标忒搞心态了，毕竟坐标本身就带着物理意义上的单位，纯用数值运算反而好办忽略几何原意。咱们先看看函数本身长啥样，$f(x) = frac{sin x}{2x}$，当$x$在$pi/2$附近摆动时，分子是正弦，分母是线性增长，整体趋势就是个震荡衰减的波浪。 先把定义域搞清楚就行，反正高中数学见过正弦除以线性函数，目前加个分母$2x$，这个分母就把震荡给拉住了，不会像没分母那样在无穷远处无限震荡。寻思到$2x$的单调性，这玩意儿在定义域内肯定是单调递减的，哪怕震荡也挺稳定。那导数呢，分子导数乘分母再减分子导数乘分母，结局是个震荡乘以$2x$再减一个常数，绝对跑不掉震荡。 画图这一步得稳。$f(pi/2)=1/4$，$f(3pi/2)=-1/6$，中间肯定有个零点。画出来之后，横轴就是$2x$的根，纵轴就是$f(x)$的根。
这题有个小技巧，$tan(2x)$的周期是$pi$，目前分母是$2x$，周期变了，但震荡性质没变。先找个零点试试，$x=0$不中，$x=pi/4$时$sin=1$，分母$pi/2$，值大约是$2/pi$；$x=pi/2$时值是$1/4$，说明$pi/4$那边比$1/4$大。 那如何做插值呢？直接做拉格朗日插值最稳妥，公式记得抄：$P(x) = sum y_i L_i(x)$，$L_i(x)$是基函数，分母是$x-x_i$。把$x$设为$pi/2$，代入两个点的式子，通分之后分母就是$(pi/2)^2$，分子是$1/4 cdot 1 - 1/4 cdot 2 = -1/4$，结局除以$(pi/2)^2$再乘以$2$？不对，重新算一遍拉格朗日公式，$L_0(pi/2) = frac{pi/2 - pi/2}{pi/2 - 0} = 0$，$L_1(pi/2) = frac{pi/2 - 0}{3pi/2 - 0} = frac{2}{3}$。
哦，不对，$x_0=0, x_1=pi/2$，那$P(x) = y_0 frac{x - pi/2}{0 - pi/2} + y_1 frac{x - 0}{pi/2 - 0}$。 代入$x=pi/2$，第一项全是0，第二项是$1/4 cdot frac{pi/2}{pi/2} = 1/4$。结局就是$1/4$。
看来在$pi/2$处函数值就是$1/4$。 那导数呢？求导公式费事点，但思路通。$f'(x) = frac{2x cos x - sin x}{4x^2}$。代入$pi/2$，分子是$2 cdot frac{pi}{2} cdot 0 - 1 = -1$，分母是$frac{pi^2}{4}$。导数就是$-4/pi^2$。 二、历年真题解析与几何直观 实际上这类题目标核心不是算导数，而是理解函数变换。从$sin x/x$到$sin x/2x$，本质上就是纵坐标被压缩了，周期和振幅实际上没变，只是整体位置下移。
这种变换下，极值点、零点、渐近线这些几何特征，大局部都没变。 比如$sin x/x$的零点就是$x=0$，那$sin x/2x$的零点还是$x=0$吗？不对，$x=0$时分母为0，无定义。零点应当看分子何时为0，即$sin x=0$，$x=kpi$。但要注意，分母$2x$会害得分式变成0或无穷大。 当$|x|
这题有个陷阱，大量学生一做题就急着求导，实际上能够先看定义域。$x neq 0$。 在$x>0$时，$sin x/2x$在$(0, pi/2)$单调减，在$(pi/2, 3pi/2)$先增后减？不对，$sin x$在$(0, pi/2)$增，$2x$增，减除增，结局减。
那$(pi/2, 3pi/2)$呢，$sin x$先减后增，$2x$增，整体震荡。 实际上$sin x/2x$的图像和$sin x/x$挺像，只是“瘦高”了，也就是振幅小了，周期变短了？不对，周期是$2pi$还是$pi$，分母线性增长，周期不变，还是$2pi$。 关键是，$sin x/2x$的图像把$sin x/x$的图像往下了压。
故此$y_{max}$变小了，$y_{min}$也变小了，但震荡的幅度（半波高度）在分母增大后反而变了。 对于$sin x/x$，最大高度接近$x$，最小高度接近$-x$，相位差$pi$。 对于$sin x/2x$，最大高度当$x to infty$时趋近于0。 这里有个细节，$sin x/2x$在$x to 0$时极限是$1/2$，而$sin x/x$极限是1。
故此$sin x/2x$在$0$附近的高度是$1/2$，而不是$1$。 那零点呢？$sin x/2x$在$x=0$无定义。 $x=pi$时，$sin pi = 0$，故此$(pi, 3pi)$之间有个零点？不对，$sin pi = 0$，分母$2pi neq 0$，故此值为0。 原来$sin x/2x$的零点是所有$sin x$的零点，即$x=kpi$，$k in mathbb{Z}$。 而$sin x/x$的零点是$x=kpi, k neq 0$，出于$x=0$时分母为0。 故此这两个函数最显著的区别就是$sin x/2x$在原点处有定义（极限存有），而$sin x/x$在原点处无定义。 二、导数与极值的几何意义 求导后拿到$frac{2x cos x - sin x}{4x^2}$。 令分子为0，即$2x cos x = sin x$，也就是$tan x = 2x$。 这个方程的根就是函数的驻点，也就是极值点。 解$tan x = 2x$。 $x=0$是一个解，但前面说了$x neq 0$。 另外两个解呢？画图看，$tan x$在$(0, pi/2)$是增的，$2x$是增的。$tan x$更快，故此$(0, pi/2)$有一个交点。 $(pi/2, pi)$，$tan x$消亡，$2x$上升，肯定没交点。 $(pi, 3pi/2)$，$tan x$上升，$2x$上升，$tan x$从$0$启动升，$2x$从$2pi$启动升，$tan x$升得快，后面会不会追上？$tan x$在$(pi, 3pi/2)$是从$0$到$+infty$，$2x$从$2pi$到$3pi$。 $tan x$在第三象限是增的，$2x$是增的。 $tan(pi + delta) approx delta$，$2(pi + delta) approx 2pi + 2delta$。
显然$delta < 2pi$，故此$tan x$一辈子在$2x$下面。 故此$tan x = 2x$在正半轴只有一个非零解，在负半轴呢？$tan x$在负半轴也是增的，$2x$是增的。 $tan(-pi) = 0$，$2(-pi) = -2pi$，$0 > -2pi$。 $tan(0) = 0$，$2(0) = 0$，相切？不对，$tan x approx x$，$2x = 2x$，故此在$0$附近$tan x < 2x$。 在第二象限，$tan x > 0, 2x > 0$，有一交点。 在第四象限，$tan x < 0, 2x > 0$，无交点。 故此$tan x = 2x$只有一个正根，一个负根，还有一个$0$（舍去）。 故此函数$f(x)$在$x>0$时先增后减，在$x<0$时先减后增？ 不对，导数分子是$2x cos x - sin x$。 $x to 0^+$，$cos x approx 1, sin x approx x$，分子$approx 2x - x = x > 0$，增。 $x to pi/2^-$，$cos x to 0, sin x to 1$，分子$to -1 < 0$，减。 故此$x_0 in (0, pi/2)$是极大值点。 $x to pi/2^+$，$cos x to 0, sin x to 1$，分子$to -1 < 0$，减。 $x to pi^-$，$cos x to -1, sin x to 0$，分子$to -2 < 0$，减。 $x to pi^+$，$cos x to -1, sin x to 0$，分子$to -2 < 0$，减。 $x to 3pi/2^-$，$cos x to 0, sin x to -1$，分子$to -(-1) = 1 > 0$，增。 $x to 3pi/2^+$，$cos x to 0, sin x to -1$，分子$to -(-1) = 1 > 0$，增。 $x to 2pi^-$，$cos x to 1, sin x to 0$，分子$to 2 > 0$，增。 $2pi^+$，$cos x to 1, sin x to 0$，分子$to 2 > 0$，增。 故此$x_0$是极大值点，$pi$附近是极小值点？ 前面算$sin pi = 0$，$sin x/2x$在$pi$处导数？分子是$2pi cdot (-1) - 0 = -2pi < 0$，故此在$pi$处是递减的？ 什么的，$sin x/2x$在$x=pi$处值为$0$，在$pi$左边值为正，右边值为负，故此$pi$是极大值点？ 不对，$sin x/2x$在$(pi, 2pi)$是负的。在$(pi, 3pi/2)$是负的，$sin x$增，$2x$增，减除增，结局减。 在$(3pi/2, 2pi)$，$sin x$负，$2x$增，减除增，结局增。 故此$pi$处是极小值点，$3pi/2$处是极大值点。 这与$tan x = 2x$的根一致。 $x=0$别看是导数为0，但不算极值点，出于左右导数同号（都是负，绝对值越来越小），是拐点。 故此函数有几个极值点：一极大，一极小，一极大，一极小…… $0, pi, 3pi, dots$是零点，$x_0 approx 4.49$是极大值点，$pi approx 3.14$是极小值点，$x_1 approx 7.72$是极大值点，$dots$ $0$是拐点。 二、命题趋势与综合应用 2020年的数学二卷还是回归根本，考纲里的那种题，别看难度提升，但核心逻辑没变。还是先看定义域，再看单调性，再谈极值。 大量学生好办在导数计算上卡壳，特别是那个$2x cos x - sin x$这一项，看起来复杂。
实际上关键就是分子为0的时候。 $tan x = 2x$这个方程，要是在区间内能一眼看出解，那就直接写出来。 比如问$f(pi)$处的导数。$pi$不是导数为0的点，故此直接代入导数公式。 $f'(pi) = frac{2pi cos pi - sin pi}{4pi^2} = frac{-2pi - 0}{4pi^2} = frac{-1}{2pi}$。 这点不难，只要记得$sin pi = 0, cos pi = -1$。 那要是问$f(pi/2)$处的导数呢？$pi/2 notin$零点集，也不在导数为0集。 $f'(pi/2) = frac{pi cdot 0 - 1}{pi^2/4} = frac{-4}{pi^2}$。 要是问$f(x_0)$，其中$x_0$是极大值点。
那是两个值：$f(x_0)$和$f'(pm x_0)=0$。 $f'(x_0)=0$，那$f(x_0)$就是极大值。 $f(x_0) = frac{sin x_0}{2x_0}$，这个不好算，出于$x_0$是$tan x = 2x$的根，$sin x_0 = 2x_0 cos x_0$，代入得$f(x_0) = frac{2x_0 cos x_0}{2x_0} = cos x_0$。 哦，这个挺有用。极大值就是$cos x_0$。 那能不能算出$cos x_0$的数值？$tan x_0 = 2x_0$，$sec^2 x_0 = 1 + tan^2 x_0 = 1 + 4x_0^2$，故此$cos^2 x_0 = frac{1}{1+4x_0^2}$。 $cos x_0 = pm frac{1}{sqrt{1+4x_0^2}}$。 出于$x_0 > 0$，且是极大值点，$cos x_0$应当正还是负？ $x_0 in (0, pi/2)$，$cos x_0 > 0$。 故此极大值是$frac{1}{sqrt{1+4x_0^2}}$。 这比直接算出导数值更简洁。 二、真题复盘与解题技巧 做2020考研数二的时候，工夫肯定紧张，别纠结那些不用算的。 步骤一：先写定义域，$x neq 0$。 步骤二：看特殊点。$x=pi$，$f(x)=0$；$x=pi/2$，$f(x)=1/4$。 步骤三：判断单调性。
不求导，也能看出震荡。 步骤四：求导数。分子分母化简，最终看分子是否等于0。 步骤五：分类聊聊求值。 这道题的关键在于$tan x = 2x$这个方程的解。 对于$2x$这样的线性系数，$tan x$的增长速度挺快，交点极少。
一般一个周期一个交点。 在$(0, pi/2)$有一个，$(pi/2, pi)$无，$(pi, 3pi/2)$无，$(3pi/2, 2pi)$无，$(2pi, 5pi/2)$有一个…… 故此正半轴交点$0, x_1, x_2, dots$ 对应的函数值$y_i = frac{sin x_i}{2x_i}$