2017考研数三真题解析-2017 考研数三真题解析

考研数三，大量人第一眼看就是套公式，向量积叉乘积积三角函数，然后卷起袖子就能拿满分。
实际上不然，当年把这两门都考了满分的人，不是数学天才，就是死磕细节的“老油条”。 论考试，哪有完美的开局。2017 年的卷子，第一道大题第一小问，看着就是一个平面的向量运算。你肯定能算出来，$30^circ$ 的夹角，$|vec{a}|=2$，$|vec{b}|=4$，$vec{a} cdot vec{b}$ 直接套公式不就出来了吗？错，人家让你求法向量。你慌了，写个坐标算个叉乘，结局变成了“做人”的运算。 那时候数学竞赛的出题风格还没目前如此“去套路化”吧？不说了。人家直接扔给你一个几何情境：空间中有点 $A(1,0,0)$，点 $B(0,2,0)$，点 $C(0,0,6)$。让你求平面 $ABC$ 的法向量。
这题在题海战术里简直是个送分题，只要你会做，考场上十分钟就能搞定。可现实是，大量考场上的学生，看到 $A, B, C$ 三个坐标如此整，心里犯嘀咕。是选 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴分别重一点？还是直接设 $vec{n}=(x,y,z)$ 代入行列式？ 选 $x$ 轴重一点。
为啥？出于 $A$ 在 $x$ 轴上，$B$ 在 $y$ 轴上，$C$ 在 $z$ 轴上。
这种设置，就是要让你习惯用基底。先算 $vec{AB} = (-1, 2, 0)$，$vec{AC} = (-1, 0, 6)$。
然后利用行列式，把 $x$ 轴的单位向量 $vec{i}$、$y$ 轴的单位向量 $vec{j}$、$z$ 轴的单位向量 $vec{k}$ 展开。你会发现，这个行列式的值直接就是法向量的一个分量。 有些学生这时候就崩了，如何就崩了？他们没发现，求法向量最忌讳的就是“硬凑”。硬凑啥？硬凑 $x=1$。
这题 $x=1$ 对吗？不对。法向量是平行于平面的，它不一定落在 $x$ 轴上。
只有当你把平面方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 展开，并且系数恰好对应 $A, B, C$ 的反之数时，法向量才落在坐标轴上。 那时候阅卷老师是认确实。他们不是先看一眼，而是把卷子发下来，一张一张地看。
第一张卷子，学生写了个 $vec{n}=(1,0,0)$，然后随意画个图，随意写两句“出于 $A$ 在 $x$ 轴上，故此法向量就在 $yoz$ 平面上”。老师看了第一问，没给全分。
为啥？出于“随意”二字忒重了。 实际上，数三求法向量，那叫根本功。你不需求那么多花样，你只需求把那三个向量 $vec{AB}, vec{AC}, vec{AD}$ 张成一行，算出行列式的值。
这个值，就是法向量。
这个操作，好办多了。
为啥当年那么多学生认定难？出于忒好办了。在数学里，好办的东西有时候才是最可怕的，出于它意味着无数人的努力，却只能拿到这一套标准答案。 还有啊，这题给了你一个三角形 $ABC$，让你求面积。公式是 $frac{1}{2}|AB| cdot AC cdot sin B$。
要么用 $frac{1}{2}|vec{AB} times vec{AC}|$。
这两种方式，学生肯定都会。
可是，有些学生只记得公式，忘了几何意义。
比如 $|vec{AB} times vec{AC}|$，这个值到底代表啥？它代表啥？它代表啥，学生搞不清楚。 这就好比问一个人：“你走几步路能走到你家？”他给不出答案。再问：“你走哪条路最快？”他依然不知道。
这时候再考他考计算题，他自然也是蒙。 故此，当年数学老师教完这一套，发现大家不仅不会，还认定“原来数学如此低效”。
这如何行？
如何能把如此好办的东西教给一群只会死记硬背的学生呢？便，老师们启动调整策略。他们不再讲“教科书式”的推导，不再讲那些绕圈子、讲逻辑、讲证明的废话。 他们只讲“如何做”。
如何做？只讲那个行列式。只讲那个叉乘。只讲那个最好办的公式。他们就连就不讲几何意义，直接说：向量积，就是平行于平面的那个向量。
不解释，不推导，直接给公式。 你会发现，目前的学生，看到向量积，脑海里蹦出的不是“空间几何”，而是“行列式”。
不是“叉乘”，而是“矩阵”。出于目前，矩阵运算才是主流。
那会儿大家当作向量都是平面的，目前发现，三维空间里，向量变换才是王道。 2017 年的那场考试，实际上是个实验。它证明白，目前的考研数学，已经彻底告别了“理论思维”的统治。理论思维是那会儿，目前流行的是“计算思维”。你不需求懂啥是“法向量”，你只需求知道如何把它算出来。 你不需求懂啥是“几何直观”，你只需求知道如何把向量转换成坐标，转换成行列式，转换成矩阵。
只要你会算，你就赢了。 那为啥如此多年，数学老师还在讲那么多“几何意义”、“逻辑推导”、“证明方式”？
为啥还在讲那么多“啥是向量积”、“叉乘积积”？ 我想，那是为了包装。为了把那些枯燥的计算过程，包装成有“深度”的东西。为了让学生认定，考数学不是拿本子做题，而是跑个场子，去验证啥“定理”，去探究啥“本质”。 实际上，真理只有它自己。真理不需求你解释，真理不需求你证明。真理只需求你计算。 故此，当你站在讲台上，看着台下那一双双眼神，要么盯着试卷上密密麻麻的数字，别急着讲“法向量”。别急着讲“几何意义”。 把卷子搞定来，铺开。找向量。算行列式。
对，就是这个。 这就是数三，这就是考试。好办，直接，暴力。 （总字数统计略，此处略过） 实际上，这话说回来，数三这道题，你要是真不把笔洗了，这题根本做不出来。笔洗洗了，话不说了。 你看，当年数学老师如此教，目前老师也不教了。
为啥？出于老老师被学生坑惨了。他们把好办的东西讲复杂，把复杂的讲好办。 你想想，你当年是为了学数学吗？还是为了考数三？要是你是为了考，那你还是去背公式吧。背了公式，不会了，再去背。背了两年，还是不会，再去背。背到第三年，你就成了那个“会背公式”的人。 你想想，你当年是为了学数学吗？还是为了考数三？要是你是为了学，那你还是懂原理吧。懂了原理，不会了，再去懂原理。懂了原理，两年后，你也成了那个“懂原理”的人。 你想想，你当年是为了学数学吗？还是为了考数三？要是你是为了学，那你还是不会做题吧。
不会做题了，再去做题。 故此，别再找那些“教科书式”的东西了。别再找那些“几何意义”的东西了。 去算。去算。 向量积，就是平行于平面的那个向量。 叉乘，就是平行于平面的那个向量。 法向量，就是平行于平面的那个向量。 别搞复杂了。 别搞理论了。 去算。