考研数学形心公式-考研数学形心公式

考研数学里关于形心的公式，实际上说白了就是三角形面积除以它“占地”的那局部系数，别被那些长长的定义吓到。你见过三角形吗？三角形肯定有重心，重心是三条中线交点。
那形心呢？别管那个中文里到底叫啥，咱们就直接把它理解为中线交点。
这个点如何坐？你用两条中线去算，坐标直接乘了三分之一，再加起来除以自身面积，这样就能拿到形心的位置了。 大量同学在背公式的时候好办晕。比方说，三角形形心坐标是 $(frac{x_1+x_2+x_3}{3}, frac{y_1+y_2+y_3}{3})$。
这听起来挺好办，但实际解题时，要是题目给的是矩形要么别的图形，你脑子里得自动补出对应的三角形。
比如你手里拿个平行四边形，想求它的形心。你能够绕个弯头，把它补成个三角形。
这个三角形由平行四边形、它的中位线三角形，还有三个小直角三角形拼凑出来。你不需求死记硬背平行四边形的公式，只要用那个大三角形的公式套进去就行。大三角形的面积除以 3，再除以平行四边形本身面积，出来的结局就是平行四边形形心的坐标。 这里得注意，公式里的三分量是一个对应一个来的。$x$ 分量对应的是底边，$y$ 分量对应的是高。你要是把 $x$ 和 $y$ 搞混了，那坐标就全错了。
还有，形心就是重心还是啥，在二维坐标系里，它既是重心也是形心。
这两者在二维平面上是等价的。三维里就不一样了，形心是形心，重心是形心加上中心，但在二维考试里，你只要算出那个交点就行。 举个例子吧，算个正方形里的形心。正方形四条边长都是 4，那面积就是 16。你能够把它补成一个大对角线三角形。
这个大三角形底是 4，高是 4，面积是 8。
然后你补三个小角上的直角三角形，每个直角边都是 2。三个小三角形面积加起来也是 6。加起来总共是 14？不对，这样算好办乱。还是直接套公式吧。正方形四个顶点坐标能够设成 $(0,0), (4,0), (4,4), (0,4)$。求形心，先把坐标加起来除以 4，拿到 $(1, 1)$。再除以 4，就是 $(0.25, 0.25)$。咦，这个跟重心算的一样，出于正方形是对称图形。 再换一个，算个梯形。梯形有个公式，是面积除以 6。
那形心呢？实际上梯形也是个退化了的三角形。你能够把它看作一个底在下的三角形，上底缩短了一点点。设下底长 $a$，上底长 $b$。
那形心坐标如何算？实际上还是用那个通用公式：$(frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4})$？不对，梯形是四边形，四个顶点一组，求平均。
那形心坐标就是平均坐标。
比如梯形顶点是 $(0,0), (a,0), (a+b, h), (b, h)$。求 $x$ 坐标平均，就是 $frac{0+a+a+b+b}{4} = frac{2a+2b}{4} = frac{a+b}{2}$。$y$ 坐标就是 $frac{0+0+h+h}{4} = frac{h}{2}$。
这个结局跟梯形面积公式 $frac{a+b}{2} times h$ 里的底乘高彻底一致。 实际上你会发现，圆形的形心就在那里。圆是高度对称的，圆心就是形心。
要是是圆环呢？圆环的形心就是中间那个小圆的中心。
这个结论对吗？对。圆环面积大，形心位置还是靠中心。 最终总结一下，解形心题，核心就三步。
第一步，把图形转化。
不管是多边形还是曲线围成的，尽量看出哪个三角形能套进去。
第二步，找公式。三角形、梯形、矩形都有对应的“面积除以系数”的公式。
第三步，代入计算。
特别是注意分母是不是 3，是不是 6，要么是不是 4。
要是题目给的是规则图形，公式直接拿；要是没给，就补个三角形凑出来用。别被那些复杂的证明吓倒，考试时候你只需求会套公式。平时做题多练练，手感一好，这道公式就跟着你出考场了。