全国考研数学-全国考研数学

考研数学这东西，放在学校考试里那是“蒸煮”卷子，拿个 A 卷，想考个 84 分，那是“蒸”个屁，你想出 130 分，那是“蒸”成一块大白菜都得先过“蒸”关。他们总当作数学是那种逻辑严丝合缝的数学题，殊不知，真正考人的是脑子，是那种在脑子里乱转悠、把公式玩意儿当饭吃、把几何图形当扑克牌看的本事。别总认定做难题就是难，那往往是你脑子转不动，根本装不下那种抽象的、带参数的、就连有点胡闹的数学结构。 咱们来聊聊函数那玩意儿，别动不动就堆砌“定义域”、“单调性”这些词，直接上眼。
比如你看那个分段函数，别听我乱讲，直接给我算一道具体的题。 先拿个平行的例子，$f(x)$ 等于 $x^2$，要么 $f(x)$ 等于 $x^3$，这两个函数在 $x=0$ 处可导，可导数分别是多少？$x^2$ 是 0，$x^3$ 也是 0。
那再给个分段题，$f(x)$ 对于 $x ge 0$ 是 $x^2$，对于 $x < 0$ 是 $-x^2$。
这时候大量人就慌了，算导数，一算，发现 $x>0$ 时 $f'(x)=2x$，$x<0$ 时 $f'(x)=-2x$。
这时候别急着去推导 $f'(x)$ 的表达式，直接代入 $x$ 的值看看。
要是 $x$ 是正数，导数就是正数；要是 $x$ 是负数，导数还是正数。
这意味着啥？意味着函数在 $x=0$ 这个断点处，是平滑连着的，就连能够说，它在这个点“摸”到导数了，摸到的值是多少？是 0。 这就挺有意思了，大量同学死磕通分、死磕去有理化，结局发现那个分式一辈子化不了，那个根式一辈子解不开。
这时候不妨换个思路，把函数画出来。画个草图，$y=x^2$ 是个开口向上的碗，$y=-x^2$ 是个开口向下的碗，它们在原点紧紧贴在一起。
这时候你就知道，导数就是斜率。在 $x>0$ 时，碗是往上拔，斜率是正的；在 $x<0$ 时，碗也是往上拔，只是从下面上来的，斜率也是正的。
什么的，这不对啊，$-x^2$ 在左边是往下的啊？哦对，$x$ 是负数的时候 $x^2$ 是正数，前面加个负号，那就是往下的。
那斜率呢？$x$ 接近 0 负数时，比如 $x=-0.1$，函数值大约是 $0.01$，斜率应当是负的？不对，我刚刚算反了。$f(x)=-x^2$，求导 $f'(x)=-2x$。
要是 $x$ 是负数，比如 $-1$，那 $f'(-1)=2$，是正数。
那图画出来，从 $-infty$ 到 0，函数是递增的，对吗？就像过山车从谷底冲上来，别看整体是个倒 U 型，但在原点那一段，它是在往上爬的？不对，$-x^2$ 当 $x$ 从 $-infty$ 变到 0 时，$x^2$ 从 $infty$ 变到 0，前面加负号，函数值从 $-infty$ 变到 0，确实是递增的，斜率是正的。好，这就通了。大量同学在这块卡住，就是出于分不清变量，也不管函数增添的快慢，只知道求导公式。
实际上根本不需求复杂的推导，只要知道 $x$ 在动，$-x^2$ 就跟着动，它如何动，斜率就是正的，如何动，它就会比 0 大。 再说说积分，别老是盯着那个积分符号发呆，那是个筐，不是个筛子。做不定积分，就像在树林里找树，看着看着就眼里进沙子，认定有东西，就当作有根，实际上哪都没影。
这时候就要学会“猜”。
看着 $x^2 dx$，你猜就是 $frac{1}{3}x^3$，别管它对不对，先猜一下，万一猜对了就高兴，猜错了再调整。
比如看 $int cos x dx$，大量人一猜就是 $sin x$，这实际上是错的，应当是 $sin x$ 加个常数 $C$。
这时候别急着改，看看能不能凑出来。把 $dx$ 当 $d(sin x)$，$sin x dx$ 凑不出，那就把 $x$ 当变量代换，设 $u=sin x$，$dx = frac{du}{cos x}$，这仿佛更乱了。
这时候换个角度，看被积函数 $cos x$，它的原函数就是正弦曲线，反过来的，就是正弦函数。别死磕了，有时候直觉就是最准的。
哪怕你写了个带 $x$ 的乱糟糟的式子，只要方向对了，最终那个常数 $C$ 一补回来，还能用。 还有说白了，考研数学考的不是那种一本正经的数学，考的是你面对题目时的反应速度，是你的脑子是不是有点“炸”。有些题，看着是微积分，实际上跟集合论挂上了钩；有些题，看着是代数，实际上是数论的变种。别被那些个“注：”、“提示”吓到了，那些只是老师想省点工夫。真正出题的人，早就把那些路都走了一遍，把那些坑都填满了，你只需求在坑里跳，看看能不能踩着别人的肩膀走。 写解答的时候，也别端着，像背书一样。别总想着“证明”了，别总想着“推导”了，咱们直接上大白话。就说“你看”，“你看这个图画得准不准”，“你看这个式子能不能化简”。把那些无谓的废话去掉，把实际上用到了的知识点摆出来。
比如讲导数，就讲“斜率”，讲积分就讲“凑”，讲极限就讲“夹逼”。 最终再啰嗦两句，数学这东西，越学越认定它是个海。刚启动学的时候认定是条河，水流得顺顺当当；学到后来，发现那河底底下全是暗礁，一旦乱撞，分分钟翻船。别总想着要“登岸”，实际上只要能把那些个“暗礁”绕那会儿，把这些个“暗流”管住住，你早就不是那个浅滩上的鸭子，早就成了大海里的那条鱼。考研数学，就是一场孤军深入，不仅要过那道坎，还要有本事在那坎上跳得更高，跳得更远。别怕难，难，就是逼你跳出舒适区，逼你变成那个能听懂“人话”的数学人。