考研数学习题-考研数学习题精选

微积分：极限的“急躁”时刻 别等那个完美的“起初”出现了，极限这东西，有时候就是在那一瞬间突然变的。 大学生记得，$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$，像天书一样。考试考场上，学生脑子里往往是：起初，这是一个关键极限；用夹逼定理；最终，几何意义说明白。结局阅卷老师看着那行云流水般的“起初、其次”，直接给个标准答案，感觉被 Browser 给卡了。 实际上不然。
你看 $lim_{x to 0} sin(frac{1}{x})$。
这玩意儿，当 $x$ 往 $0$ 走时，$frac{1}{x}$ 在 $+infty$ 和 $-infty$ 之间疯狂震荡。$sin$ 函数照着乱蹦， $1$ 到 $0$ 再到 $1$， $0$ 到 $1$ 再到 $0$。
这极限根本不存有，要么说，它的值在混沌中漂移不定。
这时候你要是还死守“夹逼定理”那个套路，就会发现手像在摸空气。
这时候得换个脑子，直接反证。假设它有个极限 $L$，那任意接近 $0$ 的 $x$ 对应的 $sin(frac{1}{x})$ 都得无限接近 $L$。但你能够随意取个 $x_n$ 让 $sin(frac{1}{x_n})$ 等于 $2$，再取个 $y_n$ 让它等于 $-2$，这两个点无限逼近 $0$，它们对应的函数值却 $2$ 和 $-2$ 差得远。矛盾了。
故此它根本不存有。 再比如 $lim_{x to 1} frac{x^2 - 1}{x - 1}$。学生一看，$(x-1)(x+1)/(x-1)$，约分掉就是 $x+1$，故此是 $2$。
这题忒细碎了，没啥意思。但若是 $lim_{x to -infty} frac{sqrt{x^2+1}}{x}$ 呢？这时候 $x$ 取负无穷大，$sqrt{x^2+1}$ 是正的，整个分式得是负的。
这时候大量人会犯低级毛病，记不住 $sqrt{x^2}$ 在 $x to -infty$ 时等于 $x$，反而等于 $-x$，害得最终答案全错了。
这时候就得靠直觉和画图。画个图，$x$ 轴是负无穷，函数曲线从第一象限弯向第四象限，斜率是负的。一眼就能看出极限是 $-1$。别整那些复杂的语言，直接数那个负号。 还有 $lim_{x to 2} sqrt{x-2}$，学生好办犯一个低级毛病，把根号管成括号，写成 $sqrt{(x-2)}$ 然后代入 $x=2$ 就得 $0$。但这不对，根号里的数务必大于 $0$ 才有意义。
要么代入 $x=2$ 到根号外面，算出 $0$ 再开根号也是 $0$。
这两步，一步对一步错。
这时候得把定义域那个红线拿出来盯着看。函数在 $x=2$ 处没定义，故此极限不存有。 再说说连续性。连续就是“没断”。
比如 $f(x) = x^2$，在 $x=1$ 处是连续的，出于左右两边接上就行。但像 $f(x) = |x|$，在 $x=0$ 处呢？左边是 $-x$，右边是 $x$，它们在 $0$ 处不光滑，像个尖尖角，像被一把剪刀剪断了。但这是“连续”，不是“不同”啊。学生做题好办混淆“连续”和“光滑”。
实际上连续就是左右极限相等且等于函数值。而极限存有不一定连续，像 $f(x) = frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处别看极限存有等于 $2$，但函数在 $1$ 处没定义，故此不连续。 还有那个“关键极限”的转化。$lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$。直接换元 $u = 1+x$，得 $lim_{u to 1} frac{ln u}{u-1}$。
这时候学生好办把 $ln u$ 在 $u=1$ 附近展开成泰勒级数，写成 $ln(1 + (u-1)) approx (u-1)$，那就是 $1$。
这步没难题。但有些学生会直接写成 $lim_{u to 1} frac{ln u}{u} = frac{0}{1} = 0$。
这错在哪？错了！出于 $ln u$ 在 $u to 1$ 时不是 $0$，它是 $0$。
什么的， $ln 1 = 0$ 没错啊。
那为啥刚刚算出来是 $1$？出于 $ln u$ 增长速度快于 $u-1$。泰勒展开是 $ln u = (u-1) - frac{(u-1)^2}{2} + o((u-1)^2)$。代入后，分子是 $(u-1)$，分母是 $u-1$，消掉后得 $1$。而直接代换 $ln 1 / 0$ 是 $0/0$ 型不定式，这时候得用洛必达法则要么等价无穷小。学生好办在这里卡壳，认定反正 $ln 1 = 0$ 嘛，那极限就是 $0$。
实际上 $ln u$ 在 $u to 1$ 时趋近于 $0$，而 $u$ 也趋近于 $1$。
要是 $f(x) = ln x, g(x) = x$，那 $f/g to 0/1 = 0$。但这里是 $ln(1+x)/x$。当 $x to 0$，$ln(1+x) sim x$。
故此极限是 $1$。
这里的关键在于“等价无穷小”的替换，不是随意凑一个 $0$ 去当 $0$。 比如 $lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x$。
这题学生时常算错，当作是 $0$ 要么 $1$。
实际上这是经典的 $e$ 的定义。$(1 + frac{1}{x})^x$。当 $x to infty$，这是个增函数。你能够慢慢凑：$(1 + frac{1}{x})^x = left[ left(1 + frac{1}{x}right)^{x} right]$，这是 $e$ 的右极限定义。
故此极限是 $e$。
要是学生用洛必达法则，把 $x$ 当分子分母，那就费事了。 再比如 $lim_{x to 0} frac{1 - cos x}{x^2}$。大量学生用洛必达，第一次得 $frac{sin x}{2x}$，还是 $0/0$。再洛达，得 $frac{cos x}{2}$，代入得 $1/2$。
这步对了。但第二次洛达，要是学生没记住 $frac{1}{2x}$ 的导数是 $-frac{1}{2x^2}$ 这种高阶无穷小，要么在洛达时算错了符号，就会卡住。
这时候不如回头复习一下三角恒等式，$1 - cos x = 2sin^2(x/2)$。代入后 $frac{2sin^2(x/2)}{x^2} = frac{1}{2} (frac{sin(x/2)}{x/2})^2 cdot frac{1}{2}$。当 $x to 0$，括号里就是 $1$，极限就是 $frac{1}{2}$。 还有 $lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$。
这题别看好办，但学生好办忽略 $x$ 的符号。
有人写 $frac{e^x - 1}{x} = frac{e^x - 1}{x}$，最终写成 $1$。
这没难题。但要是有人想直接用定义，就要小心区间。当 $x > 0$ 时，$e^x > 1$，分子正分母正；当 $x < 0$ 时，$e^x < 1$，分子负分母负。极限都是 $1$。 最终，$lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x$ 是 $e$ 的另一种证法。学生有时候会写 $lim_{x to infty} frac{(1 + frac{1}{x})^x}{e} = 1$，然后出于分子分母都是 $1$ 型，用洛必达。但这步实际上忒绕了。更好办的，设 $y = (1 + frac{1}{x})^x$，取对数，$ln y = x ln(1 + frac{1}{x})$。令 $t = frac{1}{x}$，当 $x to infty$ 时，$t to 0$。原式变成 $lim_{t to 0} frac{ln(1+t)}{t} = 1$。
这就回到了那个核心极限。
故此 $y to e^1 = e$。 微积分这东西，大量时候不是公式堆出来的，而是对“极限”这个概念本身的理解。它不是一味地套公式，而是要看函数在走向无穷要么某个点时，是稳定下来的，还是疯狂跳着走的，要么是哪怕定义域里有个点也摸不到。别被教科书上那些规整划一的“起初、其次”给骗了，有时候直觉和画图，才是解开这些难题的钥匙。真正的考研高分，不是背了多少个定理，而是能不能在不清楚不清的时候，把那个极限的值给“抓”出来。