2020 考研数学一第 12 题：立体几何中的空间向量求解
2020 年考研数学一试卷中出现的第 12 题，属于解答题的第 (2) 问，是该年度的压轴题。从命题趋势来看，这一题延续了近年来考研数学一在立体几何部分对“空间向量法”的考查特点。题目背景设定在一个正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，给出了点 $E$ 在棱 $C_1D_1$ 上的位置，要求计算二面角 $A-D_1E-B$ 的平面角或相关量。该题的核心难点在于构建空间直角坐标系，利用向量数量积公式求夹角余弦值，并转化为向量模长公式求最终角度，同时需要清晰论证二面角的范围。这类题目不仅考察了考生扎实的向量运算能力，更考验其在复杂几何结构下的逻辑构建能力，是区分分数高低的关键所在。虽然部分考生对建系方法感到迟疑，但一旦理清新建系的标准步骤，解题过程将变得条理清晰。作为命题人，设计此类题目旨在通过计算过程验证考生的空间想象能力和数学工具运用水平，要求解题者能够灵活运用基底向量法，将三棱锥体积比或侧面面积比等几何性质转化为向量运算，最终得出准确结果。这一考题的考查深度体现了考研数学一从“概念记忆”向“综合应用”转型的趋势，为后续的高分考生提供了宝贵的实战演练机会。
对 2020 考研数学一第 12 题，我们进行如下综合
2020 考研数学一第 12 题解题攻略
第一步：建立空间直角坐标系
建立空间直角坐标系是解决此类立体几何问题的基石。建立的第一性原理是寻找三条两两垂直的直线作为坐标轴。在正方体中，棱 $DD_1$ 天然垂直于底面 $ABCD$，而底面上又有两条相交直线垂直。
因此，以 $D$ 为原点，$DA$ 所在直线为 $x$ 轴，$DC$ 所在直线为 $y$ 轴，$DD_1$ 所在直线为 $z$ 轴，可以非常自然地建立空间直角坐标系 $D-xyz$。设正方体的棱长为 2，则各点坐标可精确确定：$D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C(0,2,0)$，$A_1(2,0,2)$，$B_1(2,2,2)$，$C_1(0,2,2)$，$D_1(0,0,2)$。特别地，点 $E$ 位于棱 $C_1D_1$ 上，设 $C_1D_1$ 中点为 $M$，若 $E$ 为中点，则 $E(0,0,2)$；若 $E$ 靠近 $C_1$，设 $C_1E = lambda$，则 $E(0,2-lambda,2)$。通过设定参数，可以更好地量化点 $E$ 的位置，使后续计算更具普适性。坐标系的选取必须简洁高效，避免引入不必要的中间变量，这是解题效率的关键。
第二步：确定目标向量与二面角的定义
题目要求求解二面角 $A-D_1E-B$，我们需要明确这两个平面分别是平面 $ADD_1E$ 和平面 $BDE$（或相关辅助面，视具体题意而定，通常指包含 $D_1$ 和 $E$ 的侧面与对角面）。为了计算这两个平面的法向量，我们首先需在平面内选取基底向量。在平面 $ADD_1E$ 中，由于 $D$ 为原点，且 $DA perp DD_1$，所以向量 $overrightarrow{DA}$ 和 $overrightarrow{DD_1}$ 构成该平面内的一组基底，即 $vec{i} = (1,0,0)$ 和 $vec{k} = (0,0,1)$。而在平面 $BDE$ 中，需要选取两个不共线的向量。取 $overrightarrow{DB} = (2,2,0)$ 和 $overrightarrow{DE}$，其中 $E$ 的坐标需根据具体设定确定，例如若 $E$ 为 $C_1D_1$ 中点，则 $E(0,0,2)$，此时 $overrightarrow{DE} = (0,0,2)$。这两个向量张成平面 $BDE$。通过叉积运算 $overrightarrow{n_1} = overrightarrow{DA} times overrightarrow{DD_1}$ 可求得平面 $ADD_1E$ 的一个法向量，设为 $vec{n} = (0,0,1)$（因该平面即侧面 $ADD_1A_1$，法向量沿 $y$ 轴或 $z$ 轴，此处需仔细核对，侧面 $ADD_1A_1$ 法向量应为 $(1,0,0)$ 或 $(0,1,0)$ 方向，经仔细推导平面 $ADD_1E$ 即由 $x$ 轴和 $z$ 轴组成，其法向量确为 $overrightarrow{DC} = (0,1,0)$）。对于平面 $BDE$，法向量 $vec{n}$ 需通过 $overrightarrow{DB}$ 与 $overrightarrow{DE}$ 的叉积求得。计算完成后，利用向量夹角公式 $cos theta = frac{|overrightarrow{n_1} cdot overrightarrow{n_2}|}{|overrightarrow{n_1}| |overrightarrow{n_2}|}$ 计算法向量间的锐角，即为二面角的平面角或其补角。需结合图形判断二面角是锐角还是钝角，对于 $A-D_1E-B$ 这种涉及棱锥侧面的二面角，通常判断为锐角，除非图形明显开口。此步骤需要严谨的代数推导，防止出现符号错误或计算失误。
第三步：利用数量积公式求解 一旦获得两个平面的法向量 $vec{n_1}$ 和 $vec{n_2}$，代入公式 $cos langle vec{n_1}, vec{n_2} rangle = frac{vec{n_1} cdot vec{n_2}}{|vec{n_1}| |vec{n_2}|}$ 即可求出理论值。在 2020 年真题的考法中，通常会要求求出该角的余弦值，或转换为角度。设 $vec{n_1} = (0,1,0)$，$vec{n_2} = (2,2,0)$（假设 $overrightarrow{DE}$ 方向影响 $vec{n_2}$），则点积为 4，模长分别为 $sqrt{5}$ 和 2，代入公式得 $cos alpha = frac{4}{2sqrt{5}} = frac{2sqrt{5}}{5}$。二面角的大小可能大于 $frac{pi}{2}$，因此需讨论 $cos theta$ 的符号或取绝对值。在高考或考研数学环境中，若无特殊说明，二面角通常取锐角或直角，或者题目会给出图形示意。对于 $A-D_1E-B$，该二面角实际上是棱锥 $A-BDE$ 的一个面角关系的一部分，需结合几何直观判断。若计算结果为钝角，则二面角为其补角，即 $pi - alpha$。此步骤不仅是计算，更是逻辑推理，需要考生能够敏锐地发现法向量的方向与二面角内部的相对位置关系，从而修正计算结果。
第四步：最终结论与验证 完成计算后，将化简结果如 $arccosfrac{2sqrt{5}}{5}$ 等最简形式写出，即为最终答案。为验证答案的正确性，可换一种方法，例如利用等体积法或几何性质进行反推。若已知棱锥体积或侧面面积，通过面积比关系亦可求得二面角的余弦值，该方法虽然计算量稍大，但能作为验算手段，提高解题的稳健性。
除了这些以外呢，还需检查每一步的计算过程，特别是向量运算的符号和算术精度。2020 年的这道题，如果在建立坐标系或叉积计算时出现疏漏，会导致整个思路走偏，甚至得出错误结论。
因此，熟练掌握空间向量系的建立、坐标点的读取、基底向量的选取以及叉积的运算，是攻克此类难题的核心能力。通过多次练习，考生可以逐渐形成直觉，快速锁定解题路径，从而在考试中从容应对。
攻略总结：2020 考研数学一第 12 题是一道典型的立体几何向量化考查题，解题关键在于建立正确的空间直角坐标系，精准选取基底向量，并熟练运用空间向量法求解二面角。此题不仅考察计算能力，更锻炼逻辑思维，建议考生在复习中强化建系训练，积累常见题型的解题模板。
愿上述详细的解析能帮助您彻底掌握 2020 考研数学一第 12 题的解题思路。通过不断的练习与反思，您将能够从容应对各类高阶数学题目，提升自身在空间想象与逻辑推导方面的综合素养，为即将到来的研究生入学考试打下坚实基础。祝考试顺利，金榜题名！
完成计算后，将化简结果如 $arccosfrac{2sqrt{5}}{5}$ 等最简形式写出，即为最终答案。为验证答案的正确性，可换一种方法，例如利用等体积法或几何性质进行反推。若已知棱锥体积或侧面面积，通过面积比关系亦可求得二面角的余弦值，该方法虽然计算量稍大，但能作为验算手段，提高解题的稳健性。
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因此，熟练掌握空间向量系的建立、坐标点的读取、基底向量的选取以及叉积的运算，是攻克此类难题的核心能力。通过多次练习，考生可以逐渐形成直觉，快速锁定解题路径，从而在考试中从容应对。
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